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李永樂：掛谷猜想究竟是什么？90后女生王虹沖擊菲爾茲獎
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李永樂中國人大附中物理教師、科普博主
【整理/唐曉甫】
近日，由紐約大學(xué)科朗數(shù)學(xué)研究所副教授王虹與不列顛哥倫比亞大學(xué)約書亞·扎爾合作的一篇長達(dá)127頁的論文，在預(yù)印本平臺 arXiv上震撼發(fā)布，宣告證明了長期懸而未決的三維掛谷猜想。該猜想的內(nèi)容是：一個包含每個方向上單位長度線段的集合（Kakeya集），在三維空間中必須具有Minkowski和Hausdorff維度等于三。
掛谷猜想由日本數(shù)學(xué)家掛谷宗一（Sōichi Kakeya）于1917年提出，這個問題的原型是：一位武士在上廁所時遭到敵人襲擊，矢石如雨，而他只有一根短棒，為了擋住射擊，需要將短棒旋轉(zhuǎn)一周360°（支點(diǎn)可以變化）。但廁所很小，應(yīng)當(dāng)使短棒掃過的面積盡可能小。面積可以小到多少？轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)表達(dá)即為：當(dāng)一根無限細(xì)的針向所有可能的方向旋轉(zhuǎn)時，可以掃過的最小面積是多少？
陶哲軒對于相關(guān)成就非常高興
但是隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)它還與調(diào)和分析、偏微分方程、數(shù)論等眾多數(shù)學(xué)分支有著深刻的聯(lián)系。事實上，掛谷猜想與傅里葉變換、限制猜想（restriction conjecture）、Bochner-Riesz 猜想以及局部光滑猜想（local smoothing conjecture）之間存在著一種層級關(guān)系：掛谷猜想成立往往是這些更高級問題得以解決的前提條件。
在二維空間中，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了掛谷猜想成立，也就是說，任何平面貝西科維奇集合的豪斯多夫維數(shù)必然為2。但在三維乃至更高維度的情形下，這個猜想依然是一個開放問題，雖然已經(jīng)有不少部分結(jié)果（例如證明三維掛谷集合的維數(shù)下界至少為某個數(shù)值），但要證明它必須達(dá)到空間的全維數(shù)（即3維空間中維數(shù)為3）仍是一個極具挑戰(zhàn)性的難題。
所以三維掛谷猜想的證明，標(biāo)志著數(shù)學(xué)界在幾何測度論與調(diào)和分析交叉領(lǐng)域取得了重大突破，相關(guān)解決方法可能催生出新的數(shù)值方法和理論工具，這些都將在波動、量子力學(xué)、散射理論及信號處理等數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域中產(chǎn)生重要應(yīng)用前景。
很多學(xué)者認(rèn)為一旦上述arXiv預(yù)印本通過審稿，憑借這一突破，那么王虹極有可能獲得2026年的數(shù)學(xué)最高獎——菲爾茲獎。作為全世界最著名的為青年學(xué)者設(shè)置的數(shù)學(xué)界最高獎項，菲爾茲獎每四年評選2-4名有卓越貢獻(xiàn)且年齡不超過40歲的數(shù)學(xué)家，而且要求得獎?wù)唔氃谠撃暝┣拔礉M四十歲。可以說菲爾茲獎的評選難度甚至高于諾貝爾獎。一旦成功，這將實現(xiàn)中國人在菲爾茲獎上零的突破。
- 原標(biāo)題：李永樂：掛谷猜想究竟是什么？90后女生王虹沖擊菲爾茲獎！ 本文僅代表作者個人觀點(diǎn)。
- 責(zé)任編輯: 唐曉甫
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